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北京大学2009年自主招生数学试题[第四、五题]  

2010-06-10 14:21:19|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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两道解不等式。

第四题:
已知对任意x均有a*cos(x)+b*cos(2x)>=-1恒成立,求a+b的最大值.
解:
令t=cos(x),-1<=t<=1
则a*cos(x)+b*cos(2x)=a*t+b*(2*t^2-1)>=-1
  a*t+b*(2*t^2-1)+1>=0
令f(t)=a*t+b*(2*t*t-1)+1=2*b*t^2+a*t+1-b
则f(t)>=0在[-1,1]恒成立
当b=0时,f(t)=a*t+1
f(-1)>=0,f(1)>=0,所以-1<=a<=1,这时a+b的最大值为1
当b!=0时(注:!=表示不等于)
满足f(-1)>=0
    f(1)>=0
    对称轴x=-a/4b
        -a/4b<=-1
        或-a/4b>=1
        或-1<-a/4b<1且f(-a/4b)>=0
恩,解得a+b<=2
所以最后a+b的最大值为2.

第五题:
某次考试共有333名学生做对了1000道题.做对3道及以下为不及格.6道及以上为优秀.问不及格和优秀的人数哪个多?
解:
假设有x人达优.
则x*6<=1000,没有达优的所有人的答对的题目的总数<=1000-x*6
所以及格了又没达优的人数*4<=没有达优的所有人的答对的题目的总数
所以及格了又没达优的人数<=没有达优的所有人的答对的题目的总数/4
又因为没及格的人数=333-x-及格了又没达优的人数
所以没及格的人数>=333-x-没有达优的所有人的答对的题目的总数/4>=333-x-(1000-x*6)/4
又因为x*6<=1000,所以x<=166,所以83>=x/2,所以83+x/2>=x
所以没及格的人数>=83+x/2>=x(当且仅当x=166时取等号)
所以当且仅当166做对个0道,1人做对4道,166人做对166道时不及格和优秀的人数一样多,其他情况不及格的多.

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